Fórmula de retorno médio geométrico: fórmula, exemplos e interpretação

O retorno médio geométrico (também chamado de média composta) é a taxa de crescimento por período que, quando composta, é igual à variação acumulada real ao longo de uma sequência de retornos. Calcule-o convertendo os retornos em fatores de crescimento (1 + r), multiplicando-os, extraindo a enésima raiz e subtraindo 1. CAGR é um exemplo dessa medida geométrica CAGR como média geométrica.

Nota educacional: Este artigo tem finalidade exclusivamente educacional e não constitui aconselhamento financeiro, de investimento, jurídico ou tributário. A Finelo não recomenda nenhum ativo, estratégia, plataforma ou transação. Investir e negociar envolve riscos, inclusive a possível perda do capital. Verifique regras, taxas, condições do produto e adequação em fontes oficiais ou com um profissional qualificado.

Introdução ao Retorno Médio Geométrico

O retorno médio geométrico fornece a taxa constante única que reproduz o desempenho composto cumulativo em vários períodos. É a “média” correta quando os retornos são reinvestidos a cada período e a composição é importante. Para resumos anualizados de desempenho plurianual, as pessoas costumam usar a Taxa Composta de Crescimento Anual (CAGR), que é uma média geométrica expressa por ano CAGR como média geométrica. Utilize médias geométricas quando se preocupa com o crescimento real do capital ao longo do tempo, em vez da simples média aritmética das taxas do período.

Compreendendo a fórmula

Escreva cada retorno periódico como um decimal r1, r2,…, rn. Converta cada retorno em um fator de crescimento: 1 + ri. O retorno médio geométrico (G) em n períodos é:

G = (Π(1 + ri))^(1/n) − 1

Onde:

• Π(1 + ri) significa multiplicar todos os fatores de crescimento.
• ( )^(1/n) obtém a enésima raiz (ou eleva o produto à potência 1/n).
• Subtrair 1 converte o fator de crescimento novamente em uma taxa.

Por que isso funciona: a capitalização multiplica os ganhos e perdas do período; a fórmula desfaz esse produto composto tirando a raiz e depois convertendo novamente em uma taxa. Para relatórios plurianuais, essa taxa geométrica anualizada é comumente chamada de CAGR na literatura financeira CAGR como média geométrica.

Pontos-chave sobre insumos

• Expresse os retornos como decimais (por exemplo, 5% → 0,05). Para um retorno de -20%, use -0,20.
• Se os retornos já são fatores de crescimento (por exemplo, níveis de índice), você pode derivar ri de níveis consecutivos e usar a mesma fórmula.
• A média geométrica lida naturalmente com retornos negativos e positivos através dos fatores de crescimento, mas uma perda de período completo de 100% (-100%) dá um fator de crescimento zero e torna o produto zero.

Calculando o retorno médio geométrico

Passo a passo:

1. Liste os retornos periódicos r1… rn como decimais.
2. Converta para fatores de crescimento: gi = 1 + ri.
3. Multiplique todos os fatores de crescimento: P = g1 × g2 ×… × gn.
4. Obtenha a enésima raiz: Rfator = P^(1/n).
5. Converta novamente para uma taxa: G = Rfator − 1.
6. Converta para porcentagem, se desejar (multiplique por 100).

Exemplo trabalhado (3 anos):

• Ano 1: +50% → g1 = 1,50
• Ano 2: −30% → g2 = 0,70
• Ano 3: +10% → g3 = 1,10 Multiplique: P = 1,50 × 0,70 × 1,10 = 1,155 Raiz cúbica: Rfator = 1,155^(1/3) ≈ 1,0495 Média geométrica: G ≈ 1,0495 − 1 = 0,0495 → 4,95% ao ano

Compare a média aritmética: (50% - 30% + 10%) / 3 = 10% - visivelmente superior aos 4,95% geométricos porque a aritmética ignora a composição.

Dicas práticas:

• Use uma calculadora ou função de planilha: no Excel, você pode usar PRODUCT(1+range)^(1/n)-1.
• Para séries longas, calcule somas logarítmicas (abordagem logarítmica) para evitar estouro/estouro: G = exp[(Σ ln(1 + ri))/n] − 1.
• Para retornos multiperíodos anualizados em que os períodos diferem (por exemplo, meses versus anos), converta todos os retornos para o mesmo período antes de aplicar a fórmula.

Retornos médios geométricos vs. aritméticos

Resposta curta: Use a média geométrica ao compor questões (crescimento real do portfólio). Use a média aritmética para expectativa ou média simples de previsões independentes onde a composição não está sendo rastreada.

Tabela de comparação (exemplo compacto)

Estrutura de decisão (rápida):

• Se você precisar do crescimento composto por período típico que reproduz a mudança total na riqueza → escolha geométrico.
• Se você estiver calculando a média de previsões independentes de período único ou preparando dados para simulações de Monte Carlo, onde cada período é modelado separadamente → a média aritmética pode ser apropriada.
• Para relatórios de desempenho de longo prazo e comparações entre investimentos → taxas geométricas (anualizadas) como CAGR são padrão CAGR como média geométrica.

Erro comum dos investidores: tratar uma média aritmética como uma previsão de crescimento multiperíodo — isto exagera a acumulação de capital esperada quando existe volatilidade.