Convexidade de ligação: Preço, rendimento e risco de juros

A convexidade do título mede a curva na relação entre o preço e o rendimento de um título. A duração estima quanto o preço de uma obrigação pode variar devido a uma pequena alteração nas taxas de juro, mas a convexidade das obrigações refina essa estimativa porque o comportamento preço-rendimento não é uma linha recta. Quando os rendimentos variam mais do que um pequeno valor, ou quando um título tem um vencimento longo ou cupom baixo, a convexidade pode afetar significativamente a variação estimada do preço. Em termos práticos, a convexidade ajuda a explicar por que razão uma estimativa apenas da duração pode subestimar ou sobrestimar o movimento real dos preços.

O que significa convexidade de ligação

A vínculo é um título de dívida que geralmente paga juros e retorna o principal de acordo com os termos estabelecidos, a menos que o emissor entre em default ou o título tenha características especiais que alterem esses fluxos de caixa. Dado que a maioria das obrigações promete fluxos de caixa futuros, os seus preços são sensíveis a alterações nos rendimentos do mercado.

A regra básica de preço-rendimento é:

• Quando os rendimentos aumentam, os preços dos títulos existentes geralmente caem.
• Quando os rendimentos caem, os preços dos títulos existentes geralmente sobem.

Essa relação é inversa, mas também é curvo. A convexidade da ligação descreve essa curvatura.

A duração é geralmente a primeira medida de sensibilidade que os investidores aprendem. Ele estima a variação percentual aproximada do preço para uma determinada alteração no rendimento. Por exemplo, poderá esperar-se que uma obrigação com duração modificada de 5 anos perca cerca de 5% se os rendimentos subirem 1 ponto percentual, antes de considerar a convexidade e outros factores.

A convexidade adiciona uma segunda camada: ela estima o quanto a própria estimativa de duração muda à medida que os rendimentos se movem. O CFA Institute descreve a duração como uma aproximação linear e explica que a verdadeira relação preço-rendimento é uma linha curva e convexa, tornando a convexidade uma medida de risco complementar para melhorar as estimativas baseadas na duração quando os rendimentos se movem significativamente (Instituto CFA).

Este artigo é apenas para fins educacionais e não constitui aconselhamento financeiro ou de investimento. Finelo não recomenda nenhuma segurança, estratégia ou transação. Investir envolve risco, incluindo possível perda do principal.

Como funciona a convexidade com a duração

A duração é útil porque fornece uma primeira aproximação rápida. Mas trata a relação preço-rendimento como se fosse uma linha recta. A convexidade é importante porque a linha se curva.

Uma aproximação comum é:

Estimated % price change
≈ (-Modified duration × Change in yield)
+ (0.5 × Convexity × Change in yield²)

Onde:

• Duração modificada é medido em anos.
• Mudança no rendimento é expresso como um número decimal, então 1 ponto percentual é 0.01.
• Convexidade é frequentemente expresso em anos ao quadrado, embora os fornecedores de dados possam dimensioná-lo ou rotulá-lo de forma diferente.
• O resultado é uma variação percentual estimada do preço.

O primeiro termo, -Modified duration × Change in yield, é a estimativa de duração. O segundo mandato, 0.5 × Convexity × Change in yield², é o ajuste de convexidade.

Como a variação do rendimento é elevada ao quadrado, o ajuste de convexidade é geralmente pequeno para pequenos movimentos de taxa e mais perceptível para movimentos maiores. É por isso que a convexidade é frequentemente mais importante em testes de esforço, análise de cenários e comparações entre obrigações com maturidades mais longas.

A Fidelity observa da mesma forma que a duração pode ser uma boa estimativa para mudanças pequenas e repentinas nas taxas, mas pode ser menos eficaz para mudanças maiores; a diferença entre a estimativa de duração linear e a mudança real de preço reflete a convexidade (Fidelidade).

Exemplo resolvido: estimativa de mudança de preço com convexidade

Suponha um título de pagamento anual simples com estes termos simplificados:

Esses números são apenas para educação. Nos mercados reais, a duração e a convexidade dependem dos termos exatos dos títulos, da data de precificação, da convenção de rendimento, da opcionalidade, da liquidação e da metodologia do fornecedor de dados.

Cenário A: Os rendimentos aumentam 1 ponto percentual

O rendimento sobe de 4% para 5%.

Expresse a mudança no rendimento como um decimal:

Δy = 0.01

Use a estimativa apenas de duração:

-Duration × Δy
= -4.45 × 0.01
= -0.0445
= -4.45%

Agora adicione o ajuste de convexidade:

0.5 × Convexity × Δy²
= 0.5 × 25.0 × (0.01)²
= 12.5 × 0.0001
= 0.00125
= 0.125%

Combine os dois:

Estimated % price change
= -4.45% + 0.125%
= -4.325%

Aplique isso ao preço de US$ 1.000:

Estimated dollar price change
= $1,000 × -4.325%
= -$43.25

Novo preço estimado:

$1,000 - $43.25 = $956.75

Se você precificar o mesmo título diretamente com um rendimento de 5%, o valor presente aproximado será:

PV of coupons = $40 × [1 - (1.05)^-5] ÷ 0.05
              ≈ $40 × 4.3295
              ≈ $173.18

PV of principal = $1,000 ÷ (1.05)^5
                ≈ $783.53

Total price ≈ $173.18 + $783.53
            ≈ $956.71

A estimativa ajustada pela convexidade de $956.75 está próximo da estimativa direta do valor presente de cerca de $956.71.

Cenário B: Os rendimentos caem 1 ponto percentual

O rendimento cai de 4% para 3%.

Δy = -0.01

Estimativa apenas de duração:

-Duration × Δy
= -4.45 × -0.01
= +0.0445
= +4.45%

Ajuste de convexidade:

0.5 × 25.0 × (-0.01)²
= 0.5 × 25.0 × 0.0001
= 0.00125
= 0.125%

Estimativa combinada:

Estimated % price change
= 4.45% + 0.125%
= 4.575%

Preço estimado:

$1,000 × 1.04575 = $1,045.75

Estimativa direta do valor presente com rendimento de 3%:

PV of coupons = $40 × [1 - (1.03)^-5] ÷ 0.03
              ≈ $40 × 4.5797
              ≈ $183.19

PV of principal = $1,000 ÷ (1.03)^5
                ≈ $862.61

Total price ≈ $183.19 + $862.61
            ≈ $1,045.80

Novamente, a estimativa ajustada pela convexidade está próxima.

O que este exemplo mostra

A estimativa apenas de duração teria previsto:

• Sobre $955.50 após um aumento de rendimento de 1 ponto percentual.
• Sobre $1,044.50 após uma redução de 1 ponto percentual no rendimento.

Adicionar convexidade melhorou a estimativa em ambas as direções. Para este título convencional, o termo de convexidade é positivo quer os rendimentos aumentem ou diminuam, porque a variação do rendimento é elevada ao quadrado. É por isso que a convexidade positiva pode atenuar as perdas estimadas quando os rendimentos aumentam e aumentar ligeiramente os ganhos estimados quando os rendimentos caem, em comparação apenas com a duração.

Convexidade Positiva, Convexidade Negativa e Opcionalidade

Muitos títulos tradicionais de taxa fixa têm convexidade positiva. Isto significa que a sua curva preço-rendimento se curva de uma forma que pode ser favorável em relação a uma estimativa de duração em linha reta:

• Se os rendimentos subirem, o preço poderá cair um pouco menos do que a duração por si só prevê.
• Se os rendimentos caírem, o preço poderá subir um pouco mais do que a duração por si só prevê.

A Fidelity observa que o impacto da convexidade é mais pronunciado em títulos de longa duração com cupons pequenos e descreve isso como uma convexidade positiva que pode ampliar a medida de volatilidade dos preços indicada pela duração (Fidelidade).

No entanto, nem todos os títulos de renda fixa se comportam como simples títulos não exigíveis. Alguns têm opções incorporadas. Por exemplo:

• A obrigação exigível pode permitir que o emissor resgate o título antecipadamente.
• A títulos garantidos por hipotecas pode ser afetado pelo comportamento de pré-pagamento do mutuário.
• A título putável pode dar ao investidor o direito de vender o título de volta em termos especificados.

Esses recursos podem alterar a convexidade. Em alguns casos, um título ou título semelhante a um título pode ter convexidade negativa em certas faixas de rendimento. A convexidade negativa significa que o comportamento dos preços pode se tornar menos favorável do que uma suposição simples de duração e convexidade positiva sugeriria.

Um exemplo simplificado de título resgatável ilustra a questão. Se as taxas caírem, o preço de um título não resgatável poderá subir substancialmente. Mas o preço de uma obrigação resgatável pode subir menos porque os investidores podem esperar que o emitente resgate a obrigação e refinancie a taxas mais baixas. A vantagem pode se tornar limitada. Nessa faixa, o título pode não apresentar a mesma convexidade positiva que um título não resgatável comparável.

Esta é uma das razões pelas quais a convexidade deve ser lida em conjunto com a estrutura do título, e não como um número isolado.