Bindungskonvexität: Preis, Rendite und Zinsrisiko

Die Anleihenkonvexität misst die Kurve im Verhältnis zwischen dem Preis und der Rendite einer Anleihe. Die Duration schätzt, wie stark sich der Preis einer Anleihe bei einer kleinen Änderung der Zinssätze ändern kann. Die Anleihenkonvexität verfeinert diese Schätzung jedoch, da das Preis-Rendite-Verhalten keine gerade Linie ist. Wenn sich die Renditen um mehr als einen kleinen Betrag bewegen oder wenn eine Anleihe eine lange Laufzeit oder einen niedrigen Kupon hat, kann die Konvexität die geschätzte Preisänderung erheblich beeinflussen. In der Praxis hilft die Konvexität zu erklären, warum eine reine Durationsschätzung die tatsächliche Preisbewegung unter- oder überbewerten kann.

Was Bond-Konvexität bedeutet

A Bindung ist eine Schuldverschreibung, die im Allgemeinen gemäß den festgelegten Bedingungen Zinsen zahlt und Kapital zurückzahlt, es sei denn, der Emittent zahlungsunfähig oder die Anleihe weist besondere Merkmale auf, die diese Zahlungsströme verändern. Da die meisten Anleihen künftige Cashflows versprechen, reagieren ihre Preise empfindlich auf Veränderungen der Marktrenditen.

Die grundlegende Preis-Rendite-Regel lautet:

• Wenn die Renditen steigen, sinken in der Regel die Kurse bestehender Anleihen.
• Wenn die Renditen sinken, steigen in der Regel die Kurse bestehender Anleihen.

Diese Beziehung ist umgekehrt, aber sie ist es auch gebogen. Die Bindungskonvexität beschreibt diese Krümmung.

Die Duration ist normalerweise das erste Sensitivitätsmaß, das Anleger lernen. Es schätzt die ungefähre prozentuale Preisänderung bei einer gegebenen Ertragsänderung. Bei einer Anleihe mit einer modifizierten Duration von 5 Jahren könnte man beispielsweise davon ausgehen, dass sie etwa 5 % verliert, wenn die Renditen um 1 Prozentpunkt steigen, ohne Konvexität und andere Faktoren zu berücksichtigen.

Die Konvexität fügt eine zweite Ebene hinzu: Sie schätzt, wie stark sich die Durationsschätzung selbst ändert, wenn sich die Renditen ändern. Das CFA-Institut beschreibt die Duration als lineare Näherung und erklärt, dass die wahre Preis-Rendite-Beziehung eine gekrümmte, konvexe Linie ist, was die Konvexität zu einem ergänzenden Risikomaß für die Verbesserung durationsbasierter Schätzungen macht, wenn sich die Renditen sinnvoll bewegen (CFA-Institut).

Dieser Artikel dient ausschließlich Bildungszwecken und stellt keine Finanz- oder Anlageberatung dar. Finelo empfiehlt keine Sicherheit, Strategie oder Transaktion. Investitionen sind mit Risiken verbunden, einschließlich eines möglichen Kapitalverlusts.

Wie Konvexität mit der Dauer zusammenarbeitet

Die Dauer ist nützlich, da sie eine schnelle erste Annäherung liefert. Aber es behandelt das Preis-Rendite-Verhältnis so, als wäre es eine gerade Linie. Konvexität ist wichtig, weil sich die Linie biegt.

Eine gängige Näherung ist:

Estimated % price change
≈ (-Modified duration × Change in yield)
+ (0.5 × Convexity × Change in yield²)

Wo:

• Geänderte Dauer wird in Jahren gemessen.
• Ertragsänderung wird als Dezimalzahl ausgedrückt, also 1 Prozentpunkt 0.01.
• Konvexität wird oft in Jahren im Quadrat ausgedrückt, obwohl Datenanbieter es möglicherweise anders skalieren oder beschriften.
• Das Ergebnis ist eine geschätzte prozentuale Preisänderung.

Die erste Amtszeit, -Modified duration × Change in yieldist die geschätzte Dauer. Die zweite Amtszeit, 0.5 × Convexity × Change in yield²ist die Konvexitätsanpassung.

Da die Ertragsänderung quadriert wird, ist die Konvexitätsanpassung bei kleinen Zinsbewegungen normalerweise gering und bei größeren Bewegungen deutlicher. Aus diesem Grund ist die Konvexität bei Stresstests, Szenarioanalysen und Vergleichen zwischen Anleihen mit längerer Laufzeit oft wichtiger.

Fidelity stellt ebenfalls fest, dass die Dauer eine gute Schätzung für kleine und plötzliche Ratenänderungen sein kann, bei größeren Änderungen jedoch möglicherweise weniger effektiv ist; Die Differenz zwischen der Schätzung der linearen Dauer und der tatsächlichen Preisänderung spiegelt die Konvexität wider (Treue).

Arbeitsbeispiel: Schätzung der Preisänderung mit Konvexität

Gehen Sie von einer einfachen Jahresanleihe mit diesen vereinfachten Bedingungen aus:

Diese Zahlen gelten nur für den Bildungsbereich. Auf realen Märkten hängen Duration und Konvexität von den genauen Anleihebedingungen, dem Preisdatum, der Renditekonvention, der Optionalität, der Abwicklung und der Methodik des Datenanbieters ab.

Szenario A: Renditen steigen um 1 Prozentpunkt

Die Rendite steigt von 4 % auf 5 %.

Drücken Sie die Ertragsänderung als Dezimalzahl aus:

Δy = 0.01

Verwenden Sie die reine Dauerschätzung:

-Duration × Δy
= -4.45 × 0.01
= -0.0445
= -4.45%

Fügen Sie nun die Konvexitätsanpassung hinzu:

0.5 × Convexity × Δy²
= 0.5 × 25.0 × (0.01)²
= 12.5 × 0.0001
= 0.00125
= 0.125%

Kombinieren Sie die beiden:

Estimated % price change
= -4.45% + 0.125%
= -4.325%

Wenden Sie das auf den Preis von 1.000 $ an:

Estimated dollar price change
= $1,000 × -4.325%
= -$43.25

Geschätzter Neupreis:

$1,000 - $43.25 = $956.75

Wenn Sie dieselbe Anleihe direkt mit einer Rendite von 5 % bewerten, beträgt der ungefähre Barwert:

PV of coupons = $40 × [1 - (1.05)^-5] ÷ 0.05
              ≈ $40 × 4.3295
              ≈ $173.18

PV of principal = $1,000 ÷ (1.05)^5
                ≈ $783.53

Total price ≈ $173.18 + $783.53
            ≈ $956.71

Die konvexitätsbereinigte Schätzung von $956.75 liegt nahe an der direkten Barwertschätzung von etwa $956.71.

Szenario B: Die Renditen sinken um 1 Prozentpunkt

Die Rendite sinkt von 4 % auf 3 %.

Δy = -0.01

Schätzung nur für die Dauer:

-Duration × Δy
= -4.45 × -0.01
= +0.0445
= +4.45%

Konvexitätsanpassung:

0.5 × 25.0 × (-0.01)²
= 0.5 × 25.0 × 0.0001
= 0.00125
= 0.125%

Kombinierte Schätzung:

Estimated % price change
= 4.45% + 0.125%
= 4.575%

Geschätzter Preis:

$1,000 × 1.04575 = $1,045.75

Direkte Barwertschätzung bei 3 % Rendite:

PV of coupons = $40 × [1 - (1.03)^-5] ÷ 0.03
              ≈ $40 × 4.5797
              ≈ $183.19

PV of principal = $1,000 ÷ (1.03)^5
                ≈ $862.61

Total price ≈ $183.19 + $862.61
            ≈ $1,045.80

Auch hier liegt die konvexitätsbereinigte Schätzung nahe beieinander.

Was dieses Beispiel zeigt

Die reine Dauerschätzung hätte Folgendes vorhergesagt:

• Über $955.50 nach einer Ertragssteigerung um 1 Prozentpunkt.
• Über $1,044.50 nach einem Ertragsrückgang um 1 Prozentpunkt.

Das Hinzufügen von Konvexität verbesserte die Schätzung in beide Richtungen. Bei dieser konventionellen Anleihe ist der Konvexitätsterm positiv, unabhängig davon, ob die Renditen steigen oder fallen, da die Renditeänderung quadriert wird. Aus diesem Grund kann eine positive Konvexität die geschätzten Verluste abmildern, wenn die Renditen steigen, und die geschätzten Gewinne, wenn die Renditen fallen, im Vergleich zur alleinigen Duration leicht erhöhen.

Positive Konvexität, negative Konvexität und Optionalität

Viele traditionelle festverzinsliche Anleihen haben dies positive Konvexität. Dies bedeutet, dass sich ihre Preis-Rendite-Kurve in einer Weise verbiegt, die im Vergleich zu einer linearen Durationsschätzung günstig sein kann:

• Wenn die Renditen steigen, könnte der Preis etwas weniger stark fallen, als allein die Dauer vorhersagt.
• Wenn die Renditen sinken, könnte der Preis etwas stärker steigen, als allein die Duration vorhersagt.

Fidelity stellt fest, dass der Einfluss der Konvexität bei Anleihen mit langer Laufzeit und kleinen Kupons stärker ausgeprägt ist, und beschreibt dies als positive Konvexität, die das durch die Duration angezeigte Preisvolatilitätsmaß verstärken kann (Treue).

Allerdings verhalten sich nicht alle festverzinslichen Wertpapiere wie einfache, nicht kündbare Anleihen. Einige verfügen über eingebettete Optionen. Zum Beispiel:

• A kündbare Anleihe kann es dem Emittenten ermöglichen, die Anleihe vorzeitig zurückzuzahlen.
• A hypothekenbesicherte Sicherheit kann durch das vorzeitige Rückzahlungsverhalten des Kreditnehmers beeinflusst werden.
• A kündbare Anleihe kann dem Anleger das Recht einräumen, die Anleihe zu bestimmten Bedingungen zurückzuverkaufen.

Diese Merkmale können die Konvexität verändern. In manchen Fällen kann es sich um eine Anleihe oder ein anleiheähnliches Wertpapier handeln negative Konvexität über bestimmte Ertragsbereiche. Negative Konvexität bedeutet, dass das Preisverhalten möglicherweise ungünstiger wird, als eine einfache Annahme von Dauer und positiver Konvexität vermuten lässt.

Ein vereinfachtes Beispiel einer kündbaren Anleihe veranschaulicht die Problematik. Wenn die Zinsen sinken, kann der Preis einer nicht kündbaren Anleihe erheblich steigen. Der Preis einer kündbaren Anleihe steigt jedoch möglicherweise weniger stark, da Anleger möglicherweise davon ausgehen, dass der Emittent die Anleihe kündigt und sich zu niedrigeren Zinssätzen refinanziert. Der Aufwärtstrend kann begrenzt werden. In diesem Bereich weist die Anleihe möglicherweise nicht die gleiche positive Konvexität auf wie eine vergleichbare nicht kündbare Anleihe.

Dies ist einer der Gründe, warum die Konvexität zusammen mit der Bindungsstruktur und nicht als isolierte Zahl gelesen werden sollte.