La convexité des obligations mesure la courbe de la relation entre le prix et le rendement d’une obligation. La durée estime dans quelle mesure le prix d’une obligation peut changer en cas de légère variation des taux d’intérêt, mais la convexité des obligations affine cette estimation car le comportement prix-rendement n’est pas une ligne droite. Lorsque les rendements varient de manière plus que minime, ou lorsqu’une obligation a une échéance longue ou un coupon faible, la convexité peut affecter de manière significative la variation de prix estimée. En termes pratiques, la convexité contribue à expliquer pourquoi une estimation fondée uniquement sur la durée peut sous-estimer ou surestimer l’évolution réelle des prix.
Guide d’investissement
Convexité des liaisons: Prix, rendement et risque de taux
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La convexité des obligations mesure la courbe de la relation entre le prix et le rendement d’une obligation.
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Que signifie la convexité des obligations
Un lien est un titre de créance qui paie généralement des intérêts et restitue le principal selon les conditions indiquées, à moins que l'émetteur ne fasse défaut ou que l'obligation ne présente des caractéristiques particulières qui modifient ces flux de trésorerie. Étant donné que la plupart des obligations promettent des flux de trésorerie futurs, leurs prix sont sensibles aux variations des rendements du marché.
La règle de base du rapport prix-rendement est la suivante :
- Lorsque les rendements augmentent, les prix des obligations existantes baissent généralement.
- Lorsque les rendements baissent, les prix des obligations existantes augmentent généralement.
Cette relation est inverse, mais elle est aussi courbé. La convexité des obligations décrit cette courbure.
La duration est généralement la première mesure de sensibilité que les investisseurs apprennent. Il estime le pourcentage approximatif de variation de prix pour une variation de rendement donnée. Par exemple, on peut s’attendre à ce qu’une obligation d’une durée modifiée de 5 ans perde environ 5 % si les rendements augmentent de 1 point de pourcentage, sans tenir compte de la convexité et d’autres facteurs.
La convexité ajoute une deuxième couche : elle estime dans quelle mesure l'estimation de la durée elle-même change à mesure que les rendements évoluent. Le CFA Institute décrit la durée comme une approximation linéaire et explique que la véritable relation prix-rendement est une ligne courbe et convexe, faisant de la convexité une mesure de risque complémentaire pour améliorer les estimations basées sur la durée lorsque les rendements évoluent de manière significative (Institut CFA).
Cet article est uniquement destiné à des fins éducatives et ne constitue pas un conseil financier ou d’investissement. Finelo ne recommande aucune sécurité, stratégie ou transaction. Investir comporte des risques, y compris une éventuelle perte de capital.
Comment la convexité fonctionne avec la durée
La durée est utile car elle donne une première approximation rapide. Mais il traite la relation prix-rendement comme s’il s’agissait d’une ligne droite. La convexité est importante car la ligne se plie.
Une approximation courante est :
Estimated % price change
≈ (-Modified duration × Change in yield)
+ (0.5 × Convexity × Change in yield²)
Où :
- Durée modifiée se mesure en années.
- Modification du rendement est exprimé sous forme décimale, donc 1 point de pourcentage est
0.01. - Convexité est souvent exprimé en années au carré, bien que les fournisseurs de données puissent l'évaluer ou l'étiqueter différemment.
- Le résultat est une variation de prix estimée en pourcentage.
Le premier terme, -Modified duration × Change in yield, est l'estimation de la durée. Le deuxième terme, 0.5 × Convexity × Change in yield², est l'ajustement de convexité.
Étant donné que la variation du rendement est au carré, l’ajustement de convexité est généralement faible pour les mouvements de taux minimes et plus visible pour les mouvements plus importants. C’est pourquoi la convexité est souvent plus importante dans les tests de résistance, l’analyse de scénarios et les comparaisons entre obligations à plus longue échéance.
Fidelity note également que la durée peut être une bonne estimation pour des changements de taux légers et soudains, mais peut être moins efficace pour des changements plus importants ; la différence entre l'estimation de la durée linéaire et la variation réelle du prix reflète la convexité (Fidélité).
Exemple concret : estimation de la variation de prix avec convexité
Supposons une obligation de paiement annuel simple avec ces conditions simplifiées :
| Hypothèse | Valeur |
|---|---|
| Valeur nominale | 1 000 $ |
| Taux de coupon | 4% par an |
| Paiement du coupon annuel | 40 $ |
| Maturité | 5 ans |
| Rendement actuel jusqu'à l'échéance | 4% |
| Prix actuel | 1 000 $ |
| Durée modifiée | 4,45 ans |
| Convexité | 25,0 ans² |
Ces chiffres concernent uniquement l’éducation. Sur les marchés réels, la durée et la convexité dépendent des conditions exactes de l'obligation, de la date de tarification, de la convention de rendement, de l'optionnalité, du règlement et de la méthodologie du fournisseur de données.
Scénario A : Les rendements augmentent de 1 point de pourcentage
Le rendement passe de 4% à 5%.
Exprimez la variation du rendement sous forme décimale :
Δy = 0.01
Utilisez l'estimation de la durée uniquement :
-Duration × Δy
= -4.45 × 0.01
= -0.0445
= -4.45%
Ajoutez maintenant l'ajustement de convexité :
0.5 × Convexity × Δy²
= 0.5 × 25.0 × (0.01)²
= 12.5 × 0.0001
= 0.00125
= 0.125%
Combinez les deux :
Estimated % price change
= -4.45% + 0.125%
= -4.325%
Appliquez cela au prix de 1 000 $ :
Estimated dollar price change
= $1,000 × -4.325%
= -$43.25
Prix neuf estimé :
$1,000 - $43.25 = $956.75
Si vous évaluez directement la même obligation à un rendement de 5 %, la valeur actuelle approximative est :
PV of coupons = $40 × [1 - (1.05)^-5] ÷ 0.05
≈ $40 × 4.3295
≈ $173.18
PV of principal = $1,000 ÷ (1.05)^5
≈ $783.53
Total price ≈ $173.18 + $783.53
≈ $956.71
L’estimation ajustée en fonction de la convexité de $956.75 est proche de l’estimation directe de la valeur actuelle d’environ $956.71.
Scénario B : Les rendements chutent de 1 point de pourcentage
Le rendement passe de 4% à 3%.
Δy = -0.01
Estimation de durée uniquement :
-Duration × Δy
= -4.45 × -0.01
= +0.0445
= +4.45%
Ajustement de la convexité :
0.5 × 25.0 × (-0.01)²
= 0.5 × 25.0 × 0.0001
= 0.00125
= 0.125%
Estimation combinée :
Estimated % price change
= 4.45% + 0.125%
= 4.575%
Prix estimé :
$1,000 × 1.04575 = $1,045.75
Estimation directe de la valeur actuelle avec un rendement de 3 % :
PV of coupons = $40 × [1 - (1.03)^-5] ÷ 0.03
≈ $40 × 4.5797
≈ $183.19
PV of principal = $1,000 ÷ (1.03)^5
≈ $862.61
Total price ≈ $183.19 + $862.61
≈ $1,045.80
Là encore, l’estimation ajustée en fonction de la convexité est proche.
Ce que montre cet exemple
L’estimation de la durée uniquement aurait prédit :
- À propos
$955.50après une augmentation du rendement de 1 point de pourcentage. - À propos
$1,044.50après une baisse du rendement de 1 point de pourcentage.
L'ajout de convexité a amélioré l'estimation dans les deux sens. Pour cette obligation conventionnelle, le terme de convexité est positif, que les rendements augmentent ou diminuent, car la variation du rendement est au carré. C’est pourquoi une convexité positive peut atténuer les pertes estimées lorsque les rendements augmentent et ajouter légèrement aux gains estimés lorsque les rendements baissent, par rapport à la seule durée.
Convexité positive, convexité négative et optionnalité
De nombreuses obligations traditionnelles à taux fixe ont convexité positive. Cela signifie que leur courbe prix-rendement s’incurve d’une manière qui peut être favorable par rapport à une estimation de durée linéaire :
- Si les rendements augmentent, le prix pourrait baisser légèrement moins que ce que la durée seule prédit.
- Si les rendements baissent, le prix pourrait augmenter légèrement plus que ce que la durée seule prédit.
Fidelity note que l'impact de la convexité est plus prononcé dans les obligations de longue durée avec de petits coupons et décrit cela comme une convexité positive qui peut amplifier la mesure de la volatilité des prix indiquée par la durée (Fidélité).
Cependant, tous les titres à revenu fixe ne se comportent pas comme de simples obligations non remboursables. Certains ont des options intégrées. Par exemple :
- Un obligation rachetable peut permettre à l'émetteur de rembourser l'obligation par anticipation.
- Un titre adossé à des créances hypothécaires peut être affecté par le comportement de remboursement anticipé de l’emprunteur.
- Un obligation putable peut donner à l'investisseur le droit de revendre l'obligation selon des conditions spécifiées.
Ces caractéristiques peuvent modifier la convexité. Dans certains cas, une obligation ou un titre assimilable peut avoir convexité négative sur certaines fourchettes de rendement. Une convexité négative signifie que le comportement des prix peut devenir moins favorable que ne le suggèrerait une simple hypothèse de durée et de convexité positive.
Un exemple simplifié d’obligation remboursable illustre le problème. Si les taux baissent, le prix d’une obligation non remboursable peut augmenter considérablement. Mais le prix d’une obligation rachetable peut augmenter moins parce que les investisseurs peuvent s’attendre à ce que l’émetteur rachète l’obligation et la refinance à des taux plus bas. Les avantages peuvent devenir limités. Dans cette fourchette, l’obligation peut ne pas présenter la même convexité positive qu’une obligation comparable non remboursable.
C’est l’une des raisons pour lesquelles la convexité doit être lue conjointement avec la structure de l’obligation, et non comme un nombre isolé.
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Convexité dans les fonds et portefeuilles obligataires
La convexité peut s'appliquer à une seule obligation, mais elle peut également être estimée pour un portefeuille d'obligations. Dans l'analyse de portefeuille, la durée et la convexité sont souvent regroupées entre les titres, généralement par pondération en fonction de la valeur marchande.
Par exemple, supposons qu'un portefeuille simplifié comporte deux obligations :
| Tenir | Valeur marchande | Poids du portefeuille | Convexité |
|---|---|---|---|
| Obligation A | 60 000 $ | 60% | 20 |
| Lien B | 40 000 $ | 40% | 35 |
Une estimation simple de la convexité pondérée est :
Portfolio convexity
= (60% × 20) + (40% × 35)
= 12 + 14
= 26
La même idée peut être utilisée pour la durée :
Portfolio duration
= sum of each holding’s weight × its duration
Le CFA Institute note que la durée et la convexité peuvent être estimées pour un portefeuille d'obligations tout en soulignant également les limites dues aux hypothèses sous-jacentes (Institut CFA). Ces hypothèses sont importantes car un portefeuille n’est pas seulement un flux de trésorerie. Il peut contenir des obligations avec différentes échéances, coupons, risques de crédit, caractéristiques d'achat, profils de liquidité et expositions à la courbe des rendements.
Pour les lecteurs comparant les structures de fonds avec les obligations individuelles, l’article éducatif de Finelo sur fonds obligataires vs obligations individuelles peut être une prochaine étape connexe. La convexité n’est qu’une partie de cette comparaison plus large ; les flux de fonds, la rotation, les dépenses, la diversification et l’évolution de la composition du portefeuille peuvent également affecter les résultats.
La convexité peut également devenir plus pertinente lors de la réflexion sur les scénarios de courbe des taux. Un seul chiffre de durée suppose souvent une variation parallèle des rendements, mais les courbes de rendement réelles peuvent se pentifier, s’aplatir ou s’inverser. Pour un contexte connexe, l'article de Finelo sur inversion de la courbe des taux peut aider à placer les scénarios d’évolution des taux dans un contexte éducatif plus large.
Limites et interprétations erronées courantes
La convexité des obligations est utile, mais elle présente plusieurs modes de défaillance.
1. La convexité n'est pas une prévision de retour
La convexité ne prédit pas où iront les taux. Il estime la réaction du prix d’une obligation si les rendements changent selon certaines hypothèses. Une obligation à forte convexité peut toujours produire un mauvais résultat si les rendements, les spreads de crédit, la liquidité ou le risque de l’émetteur évoluent de manière défavorable.
2. L’approximation peut s’effondrer
La formule durée plus convexité est encore une approximation. Il s’améliore généralement uniquement sur la durée, mais il peut ne pas refléter pleinement les variations très importantes des rendements, les changements de flux de trésorerie, le comportement d’exercice des options ou les changements dans les spreads de crédit.
Pour les titres complexes, la simple formule basée sur le rendement peut être trop limitée. Des mesures ajustées en fonction des options, une analyse de scénarios ou une réévaluation complète peuvent être plus appropriées dans une analyse avancée.
3. Les changements de rendement ne sont pas toujours parallèles
De nombreux exemples de manuels supposent qu’un rendement augmente ou diminue d’un montant défini. Les vrais marchés sont plus compliqués. Les rendements à court terme peuvent augmenter tandis que les rendements à long terme baissent, ou les écarts de crédit peuvent s'élargir même si les rendements des bons du Trésor diminuent. Une seule statistique de convexité peut ne pas refléter ces changements de forme de courbe.
Pour un contexte supplémentaire sur les titres à revenu fixe, l'article de Finelo sur Bons du Trésor, billets et obligations peut aider à distinguer les instruments qui peuvent réagir différemment aux mouvements de taux en raison de leur échéance et de leur structure.
4. Les fournisseurs de données peuvent utiliser différentes méthodes
Les chiffres de convexité ne sont pas toujours directement comparables entre les plateformes. Certaines sources font état d'une convexité effective, d'autres d'une convexité modifiée et d'autres encore mettent le nombre à l'échelle différemment. Les obligations rachetables, les titres adossés à des créances hypothécaires et les fonds peuvent utiliser des modèles qui dépendent d'hypothèses concernant la volatilité, les remboursements anticipés et le comportement des émetteurs.
Avant de comparer deux valeurs de convexité, il est important de comprendre :
- si la mesure est basée sur le rendement ou ajustée en fonction des options ;
- si elle suppose des flux de trésorerie fixes ;
- s'il utilise le rendement actuariel, les taux au comptant ou les taux modèles ;
- comment le fournisseur de données met à l’échelle le nombre rapporté.
5. Une convexité plus élevée n’est pas automatiquement « meilleure »
La convexité positive peut être intéressante d’un point de vue mathématique, mais elle peut entraîner des compromis. Une obligation plus convexe peut avoir un rendement plus faible, une échéance plus longue, une plus grande sensibilité aux taux, une liquidité plus faible ou un risque de crédit différent. La question pertinente n’est pas de savoir si la convexité est élevée de manière isolée, mais quels sont les risques et les hypothèses qui l’accompagnent.
6. La durée et la convexité ne remplacent pas l’analyse de crédit
Une obligation peut présenter des caractéristiques de taux d’intérêt attrayantes tout en comportant un risque de défaut, un risque de dégradation, un risque d’appel, une complexité fiscale ou un risque de liquidité. La convexité se concentre sur la courbure prix-rendement, et non sur la capacité de l'émetteur à payer.
Comment lire la convexité en pratique
Un flux de travail de lecture attentif peut réduire les erreurs courantes :
- Identifiez l’instrument. S'agit-il d'un Trésor, d'une obligation d'entreprise, d'une obligation municipale, d'un titre adossé à des créances hypothécaires, d'un fonds obligataire ou d'un autre produit à revenu fixe ?
- Vérifiez si les flux de trésorerie sont fixes. Les obligations ordinaires non remboursables sont plus faciles à analyser que les titres remboursables ou remboursables par anticipation.
- Lisez d'abord la durée. La durée donne une estimation de premier ordre de la sensibilité au taux.
- Ajoutez de la convexité pour des mouvements de rendement plus importants. La convexité est particulièrement pertinente lors de la modélisation de scénarios de 50, 100 ou 200 points de base.
- Confirmez les unités et la méthode. Ne présumez pas que deux nombres de convexité provenant de sources différentes sont calculés de la même manière.
- Envisagez une réévaluation complète pour les cas complexes. Lorsque les flux de trésorerie peuvent varier, la formule simple peut être trompeuse.
- Ajoutez des frictions du monde réel. Les spreads acheteur-vendeur, les taxes, les coûts de transaction, les dépenses du fonds, la liquidité et les spreads de crédit peuvent avoir autant d’importance que l’estimation mathématique.
Une interprétation pédagogique simple pourrait ressembler à ceci :
| Si vous voyez… | Cela peut suggérer… | Mais vérifiez… |
|---|---|---|
| Convexité positive plus élevée | Courbure plus grande de la relation prix-rendement | Rendement, maturité, liquidité, risque de crédit |
| Durée similaire mais convexité différente | Comportement différent pour des mouvements de taux plus importants | Coupon, échéance, optionnalité |
| Convexité négative | Effets possibles d’option ou de remboursement anticipé | Caractéristiques d'achat, exposition hypothécaire, hypothèses du modèle |
| Convexité du portefeuille | Estimation pondérée de la sensibilité | Rotation des avoirs et hypothèses relatives à la courbe des rendements |
Utilisée avec précaution, la convexité des obligations contribue à rendre l’analyse de la durée moins simpliste. Utilisé avec négligence, il peut créer une fausse précision.
FAQ sur la convexité des obligations
Qu’est-ce que la convexité des obligations en termes simples ?
La convexité des obligations mesure la courbure de la relation entre le prix et le rendement d’une obligation. La durée donne une estimation linéaire ; la convexité aide à ajuster cette estimation car la relation prix-rendement réelle se courbe.
Pourquoi la convexité est-elle importante ?
La convexité est particulièrement importante lorsque les variations de rendement sont importantes, lorsque les échéances sont longues, lorsque les coupons sont faibles ou lorsque l’on compare des obligations de durée similaire. Cela peut aider à expliquer pourquoi l’évolution réelle du prix d’une obligation diffère d’une estimation fondée uniquement sur la durée.
La convexité positive est-elle bonne ?
La convexité positive peut améliorer une estimation basée sur la durée en réduisant la perte estimée lorsque les rendements augmentent et en augmentant le gain estimé lorsque les rendements baissent. Mais ce n’est pas automatiquement « bon » dans tous les contextes d’investissement, car le rendement, la qualité du crédit, la maturité, la liquidité et les coûts comptent également.
Qu’est-ce que la convexité négative ?
La convexité négative se produit lorsque le comportement des prix devient moins favorable que le modèle standard de convexité positive. Les obligations rachetables et les titres adossés à des créances hypothécaires peuvent présenter une convexité négative dans certains environnements de taux, car les flux de trésorerie peuvent changer lorsque les taux évoluent.
La convexité prédit-elle les taux d’intérêt ?
Non. Convexity ne prévoit pas les taux. Il estime la sensibilité des prix en fonction des changements de rendement supposés.
Les fonds obligataires peuvent-ils avoir une convexité ?
Oui. Un fonds obligataire peut avoir une convexité estimée en fonction de ses avoirs, mais ce chiffre peut changer à mesure que le fonds achète et vend des obligations ou que les conditions du marché changent.
Quelle est la plus grosse erreur avec la convexité des obligations ?
La plus grosse erreur est de traiter la convexité comme un outil de classement autonome. Il s’agit plutôt d’un affinement de la durée et non d’une mesure complète du risque ou de l’adéquation des obligations.
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